变换（二维与三维）

线性变换基础 (Linear Transformations)

在线性代数中，线性变换 (Linear Transformation) 指一种保持向量加法与标量乘法特性的空间映射。在二维欧几里得空间中，任何线性变换均可用一个 $2 \times 2$ 的矩阵来表示：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}$$

缩放与对称 (Scale & Reflection)

缩放矩阵通过沿主对角线设置缩放因子 $s_x, s_y$ 来实现对空间基向量的拉伸或压缩；当缩放因子为负值时，空间将发生对称翻转（Reflection）。

$$\mathbf{S}(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x x \\ s_y y \end{bmatrix}$$

例如，要实现沿 Y 轴的对称翻转（即 X 坐标取反，Y 坐标不变），只需令 $s_x = -1, s_y = 1$：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix}$$

错切变换 (Shear)

错切变换使得一个坐标轴的位移量依赖于另一个坐标轴的当前值。这在物理学中常用于描述应变，而在图形学中，它将矩形扭曲为平行四边形。

$$\mathbf{Shear_x}(a) = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + ay \\ y \end{bmatrix}$$

旋转变换 (Rotation)

二维旋转矩阵描述了点绕坐标原点逆时针旋转角度 $\theta$ 的几何过程。根据三角函数的加法定理推导，旋转矩阵的标准形式为：

$$\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{bmatrix}$$

提示

在计算机图形学中，按照惯例我们默认旋转角度 $\theta > 0$ 时为逆时针 (Counter-clockwise) 转。

平移变换 (Translation)

平移是指将几何体沿着给定向量移动一定的距离。从代数上看，它是一个极为简单的坐标加法操作：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \end{bmatrix}$$

---

齐次坐标的引入 (Homogeneous Coordinates)

在上述所有的 $2 \times 2$ 线性变换（缩放、对称、错切、旋转）中，无论进行何种矩阵乘法操作，坐标原点 $(0,0)$ 永远会被映射回 $(0,0)$。

然而，我们刚刚提到的平移变换 (Translation) 破了这一规律，它在底层是一种加法操作。由于包含了平移，这种不再保持原点固定的变换被称为仿射变换 (Affine Transformation)。其代数表达必须在乘法之外，再硬生生地附加一个平移向量：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$$

为了将平移操作也统一纳入矩阵乘法的框架中，从而实现变换的级联与硬件级并行加速，图形学引入了齐次坐标 (Homogeneous Coordinates)。

代数定义与统一表示

通过向二维空间增加第三个维度分量 $w$，所有二维仿射变换均可被升维表示为一个 $3 \times 3$ 的矩阵乘法：

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by + t_x \\ cx + dy + t_y \\ 1 \end{bmatrix}$$

点与向量在齐次坐标下具有明确的代数区分：

• 点 (Point)：表示空间中的具体位置，其齐次坐标为 $(x, y, 1)$。
• 向量 (Vector)：表示方向与大小，具有平移不变性，其齐次坐标为 $(x, y, 0)$。

警告

观察上述定义，你会发现当一个 $3 \times 3$ 平移矩阵乘以一个向量 $(x, y, 0)^T$ 时，平移分量 $t_x, t_y$ 会与 $w=0$ 相乘而被消除。这种数学设计保持了向量的“平移不变性”。

几何直觉：高维度的错切降维

从几何拓扑的角度来审视齐次坐标，二维平面可以被视作悬浮在三维空间中 $w=1$ 高度上的一个切片。当我们在三维空间中对这个切片执行一次错切 (Shear) 换时，切片投影在 $w=1$ 平面上的截面，其表现出的相对运动正是一次二维的平移。

平移量 tx (在 w 平面的 Shear X): 0 平移量 ty (在 w 平面的 Shear Y): 0

观察 3D 空间中的错切（Shear）如何对应 2D 空间（w=1 平面）中的平移（Translation）。在画面中按住左键可旋转视角。

1. 试着在上面的交互模型中拖动滑块 tx。
2. 你会看到三维空间中的半透明长方体发生了明显的错切变形。
3. 但如果你把视线完全聚焦在那个绿色的 $w=1$ 平面上（即真实的 2D 空间），你会发现长方体在这个平面上的横截面，表现为二维平面上的平移。
4. 这种“在更高维度进行线性错切，从而在低维度实现仿射平移”的降维打击，就是齐次坐标最底层的几何美学。

---

组合变换 (Composite Transformations)

在实际的渲染管线中，一个顶点往往需要经历成百上千次复杂的变换。利用齐次坐标矩阵，我们可以将任意次平移、旋转与缩放乘在一起，预先压缩成一个单一的复合矩阵。

经典组合：TRS 变换矩阵

在各大 3D 渲染引擎（如 Unity、Unreal 以及 Three.js）中，物体的本地变换矩阵（Model Matrix）通常是由缩放（Scale）、旋转（Rotation）和平移（Translation）组合而成的，业界俗称 TRS 矩阵。

根据矩阵乘法“从右向左”执行的代数特性，为了让物体先基于自身原点进行缩放，然后再进行旋转，最后再将其平移到世界空间的指定位置，变换矩阵的相乘顺序必须严格遵守 $\mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{S}$：

$$\mathbf{M}_{model} = \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{S} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_{world} = \mathbf{T} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}_{local}$$

警告

如果你不慎将顺序写成了 $\mathbf{S} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{T}$，那么物体会先被平移到坐标系的远端，此时再应用缩放时，由于缩放是始终以坐标原点为中心的，物体不但体积会变大，它距离原点的物理位置也会被同比例拉远，这是开发中常见的逻辑错误。

不可交换性 (Non-commutativity)

矩阵乘法不具备交换律（即 $A \cdot B \neq B \cdot A$）。在几何意义上，这意味着变换的执行顺序十分关键。先平移后旋转，与先旋转后平移，会得到截然不同的空间位置。

平移 tx: 3.0 旋转角度 (Z轴): 90°

红色路径代表 先平移后旋转 (R · T)，物体中心会绕原点画弧线。
蓝色路径代表 先旋转后平移 (T · R)，物体仅在自身原点旋转后直线平移。

1. 观察上方场景中处于原点的两个初始位置完全一致的物体。
2. 我们为红色路径定义变换逻辑（世界坐标系，从右向左执行）：先平移后旋转 ($R \cdot T$)。物体先沿着世界 X 轴平移，然后再绕世界原点旋转。由于旋转中心是绝对原点，平移后的物体会被像甩流星锤一样绕着原点甩出一个圆弧，且自身朝向也随之改变。
3. 我们为蓝色路径定义变换逻辑（世界坐标系，从右向左执行）：先旋转后平移 ($T \cdot R$)。先让物体在原点自转，然后再沿着世界坐标系的 X 轴平移出去。由于平移是基于世界绝对坐标的，所以它无视了自身的朝向，走出了一条笔直的横线（犹如“螃蟹走”）。
4. 在图中你还可以看到一个重叠：红色的“第一步残影”（仅平移）和蓝色的“最终实体”（原点自转后横移）完全重叠在了一起，形成了一个十字架。这种不同的最终位置证明了矩阵乘法不满足交换律。

---

三维变换与旋转 (3D Transformations)

在三维空间中，我们将齐次坐标升级为 $(x, y, z, 1)$，所有的变换矩阵也相应地扩充为了 $4 \times 4$ 矩阵。

基础仿射变换：平移与缩放

三维的缩放与平移是对二维的自然延伸。

三维平移矩阵 (Translation)：将 $t_x, t_y, t_z$ 放入第四列，利用 $w=1$ 提取平移量。

$$\mathbf{T}(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

三维缩放矩阵 (Scale)：将缩放因子 $s_x, s_y, s_z$ 放置于主对角线。

$$\mathbf{S}(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

绕主轴旋转 (Principal Axis Rotations)

与平移和缩放的简单扩充不同，三维旋转的复杂性呈现了指数级的上升。在三维空间中，任何复杂的旋转都可以分解为绕 $X, Y, Z$ 三个主坐标轴的旋转组合。

以下是绕三大主轴逆时针旋转角度 $\theta$ 的标准 $4 \times 4$ 矩阵。推导它们的诀窍是：绕哪个轴转，该轴的对应坐标就不变（即所在行和列保持单位阵的结构），而另外两个轴所在平面执行标准的二维旋转。

绕 Z 轴旋转（$\mathbf{R}_z$）：Z 坐标不变，X 和 Y 面上进行二维旋转。

$$\mathbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

绕 X 轴旋转（$\mathbf{R}_x$）：X 坐标不变，Y 和 Z 面上进行二维旋转。

$$\mathbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

绕 Y 轴旋转（$\mathbf{R}_y$）：Y 坐标不变，Z 和 X 面上进行二维旋转。

$$\mathbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

警告

仔细观察 $\mathbf{R}_y$ 会发现，$-\sin\theta$ 的位置分布与 $R_x$ 和 $R_z$ 正好相反，这并非笔误。 在图形学的标准右手坐标系中，依照右手螺旋定则，大拇指指向主轴正方向时，四指卷曲方向为逆时针正方向。

• 绕 Z 轴正旋：X 轴转向 Y 轴。
• 绕 X 轴正旋：Y 轴转向 Z 轴。
• 绕 Y 轴正旋：Z 轴转向 X 轴 (Z to X)。 因为在构建矩阵书写形式时，X 列被置于 Z 列的前面，这种几何方向与书写顺序的错位，导致了代数表现上负号位置的颠倒。这是初学者在手写矩阵时较易混淆的点。

欧拉角 (Euler Angles)

欧拉角是最直观的三维旋转表示方法，它将复杂的空间旋转分解为绕 X、Y、Z 三个主轴的连续旋转。在航空航天领域，这通常被称为：

• 俯仰（Pitch）：绕 X 轴旋转。
• 偏航（Yaw）：绕 Y 轴旋转。
• 翻滚（Roll）：绕 Z 轴旋转。

X轴 旋转 (Pitch): 0° Y轴 旋转 (Yaw): 0° Z轴 旋转 (Roll): 0°

观察物体绕三根空间轴的旋转。这被称为“欧拉角（Euler Angles）”。
尝试体会“万向节死锁”：将 Y 轴调至 90°，再尝试调节 X 和 Z 轴，你会发现物体失去了向某个自由度旋转的能力。

警告

欧拉角虽然直观，但存在一个致命的数学缺陷：万向节死锁 (Gimbal Lock)。如上方模型提示所述，当某一个轴（如 Y 轴）旋转 90 度后，X 轴的旋转轴与 Z 轴的旋转轴将在空间中重合，导致系统永久性地丢失一个自由度。为了解决这一问题，现代渲染引擎通常在底层使用四元数 (Quaternion) 行旋转插值。

罗德里格斯旋转公式 (Rodrigues’ Rotation Formula)

当我们需要绕任意一根非标准坐标轴 $\mathbf{n}$ 旋转角度 $\alpha$ 时，如果强行用欧拉角去拼凑会过程繁琐。罗德里格斯旋转公式给出了直接的解析解。

$$\mathbf{R}(\mathbf{n}, \alpha) = \cos(\alpha)\mathbf{I} + (1 - \cos(\alpha))\mathbf{n}\mathbf{n}^T + \sin(\alpha)\begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{bmatrix}$$

尽管该公式的代数形式显得较为庞杂，但可以通过几何关系推导。我们可以通过空间向量的正交分解，将其降维成一个简单的二维旋转问题来理解：

1. 向量分解：首先，将待旋转的空间向量 $\mathbf{v}$ 沿着旋转轴 $\mathbf{n}$ 的方向进行投影，拆分为平行分量 $\mathbf{v}_{\parallel}$ 与垂直分量 $\mathbf{v}_{\perp}$。
2. 静止的平行分量：因为 $\mathbf{v}_{\parallel}$ 与旋转轴 $\mathbf{n}$ 完全共线，所以在整个旋转过程中，该平行分量将保持静止。
3. 构建旋转面：由于 $\mathbf{v}_{\perp}$ 垂直于 $\mathbf{n}$，它在旋转时必定停留在一个完全垂直于 $\mathbf{n}$ 的空间切面内。
4. 构造正交基：在这个垂直切面上，我们需要两个互相垂直的基向量来描述二维旋转。第一根基即为 $\mathbf{v}_{\perp}$ 本身；第二根基，我们可以利用叉乘 (Cross Product) 几何性质，通过 $\mathbf{n} \times \mathbf{v}_{\perp}$ 轻易求得。
5. 执行二维旋转：此时，在由 $\mathbf{v}_{\perp}$ 和 $\mathbf{n} \times \mathbf{v}_{\perp}$ 构成的垂直平面上，我们只需直接套用基础的二维旋转公式（分别赋予 $\cos\alpha$ 与 $\sin\alpha$ 权重）。最后，将旋转完成的垂直分量，与那个始终静止的平行分量 $\mathbf{v}_{\parallel}$ 重新相加，便能推导出上述这套完整的空间旋转代数式。

---

四元数初探 (Introduction to Quaternions)

尽管罗德里格斯公式给出了绕任意轴旋转的代数解，但在实际的动画系统中，如果我们要让一个物体从朝向 A 平滑插值过渡到朝向 B，直接对两个矩阵进行线性插值会导致形变（因为插值后的矩阵往往不再保持正交），而欧拉角插值又可能触发“万向节死锁”。

为了解决三维旋转的存储效率与平滑插值问题，现代图形学底层引入了四元数 (Quaternion)。

什么是四元数？

四元数由一个实部和三个虚部构成，可以写成 $\mathbf{q} = a + bi + cj + dk$ 的形式。 在几何意义上，用来表示三维空间旋转的“单位四元数”，可以直接与“旋转轴 $\mathbf{n}$”和“旋转角 $\theta$”建立直接的三角函数映射：

$$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\theta}{2}) \\ \mathbf{n}_x \sin(\frac{\theta}{2}) \\ \mathbf{n}_y \sin(\frac{\theta}{2}) \\ \mathbf{n}_z \sin(\frac{\theta}{2}) \end{bmatrix}$$

四元数带来的降维打击

1. 避免死锁：四元数直接绕空间中的单一任意轴 $\mathbf{n}$ 旋转，不使用欧拉角的机制，从而避免了万向节死锁。
2. 极简的存储空间：一个标准的 $4 \times 4$ 旋转矩阵需要庞大的 16 个浮点数来存储，而一个单位四元数仅仅只需要 4 个浮点数（$w, x, y, z$），这为现代 GPU 密集的骨骼蒙皮动画节省了海量的内存带宽。
3. 球面插值：四元数原生支持球面线性插值（Slerp）。它可以保证物体在从姿态 A 旋转到姿态 B 时，以恒定的角速度沿大圆弧线进行平滑过渡。