光线追踪（辐射度量学、渲染方程与全局光照）

前两章解决了光线追踪的两个基础问题：如何让一条光线找到最近交点，以及如何用加速结构减少不必要的求交。到这里，我们已经知道“相机看见了哪个表面点”。

接下来的问题是：这个表面点沿相机方向应该发出多少光？

在早期着色章节中，我们用环境光、漫反射和高光近似表面颜色。那套模型适合建立直觉，但如果要理解路径追踪、全局光照、PBR 和渲染方程，就需要把“颜色”换成更精确的物理量：光能如何从一个方向进入表面，又如何被表面分配到另一个方向。

为什么需要辐射度量学

辐射度量学 (Radiometry) 是描述光能传播的度量体系。它不关心人眼感知的明亮程度，而是用物理量描述电磁辐射能量如何在空间、面积和方向中分布。

在渲染中，我们需要它回答几类问题：

光源总共发出多少能量？
某个表面单位面积接收多少光？
从某个方向看过去，单位面积、单位立体角中有多少光？
表面如何把入射光反射到出射方向？

如果只说“这个点很亮”，信息是不够的。我们需要知道亮度来自哪个方向、覆盖多大面积、被什么材质反射、最终朝哪个方向离开。

辐射通量、辐照度与辐亮度

本章只需要先掌握三个最重要的量。

辐射通量

辐射通量 (Radiant Flux) 表示单位时间内传输的总能量，记作 $\Phi$ ，单位是瓦特 (W)：

\Phi = \frac{dQ}{dt}

可以把它理解成“光源总功率”。例如一个点光源发出的总光能越多，辐射通量越大。

辐照度

辐照度 (Irradiance) 表示单位面积接收到的辐射通量，记作 $E$ ：

E = \frac{d\Phi}{dA}

它描述“这个表面点接收到了多少光”。同一束光斜着照到表面时，会被摊到更大的面积上，所以有效辐照度会乘上余弦项：

E \propto \cos\theta = n \cdot \omega_i

这正是 Lambert 漫反射中 $\max(n \cdot l, 0)$ 的物理来源。

辐亮度

辐亮度 (Radiance) 记作 $L$ ，描述单位投影面积、单位立体角中的辐射通量：

L = \frac{d^2\Phi}{dA^\perp d\omega}

它是渲染中最核心的量。相机像素最终看到的，概念上就是沿某条光线到达相机的辐亮度。

立体角：方向也有面积

在二维平面里，角度衡量一段圆弧占整个圆的比例；在三维空间里，立体角 (Solid Angle) 衡量一块方向区域占单位球面的比例，记作 $\omega$ ，单位是球面度 (sr)。

如果从某个表面点看向一个面光源，光源越大、越近，它占据的方向范围越大，立体角也越大。渲染方程中的积分不是在普通面积上积分，而是在表面点上方半球的所有入射方向上积分：

\int_{\Omega}

这里 $\Omega$ 通常表示以表面法线为中心的上半球。每个方向 $\omega_i$ 都可能带来入射辐亮度 $L_i$ 。

BRDF：表面如何反射光

BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数) 描述表面如何把来自入射方向 $\omega_i$ 的光反射到出射方向 $\omega_o$ 。

它通常记作：

f_r(x, \omega_i, \omega_o)

其中：

$x$ 是表面点。
$\omega_i$ 是入射方向。
$\omega_o$ 是出射方向，也就是朝向相机或下一条光线的方向。
$f_r$ 的值描述从 $\omega_i$ 到 $\omega_o$ 的反射比例和方向分布。

不同材质的 BRDF 形状不同。理想漫反射会把光均匀散射到半球；镜面材质会把光集中反射到一个方向附近；粗糙金属会形成较宽的高光瓣。

漫反射 BRDF

理想 Lambert 漫反射的 BRDF 是常数：

f_r = \frac{\rho}{\pi}

其中 $\rho$ 是反照率 (Albedo)。除以 $\pi$ 是为了保证能量守恒：表面不能反射出比入射更多的能量。

渲染方程

有了辐亮度、入射方向、BRDF 和余弦项，就可以写出经典的渲染方程 (Rendering Equation)：

L_o(x, \omega_o) = L_e(x, \omega_o) + \int_{\Omega} f_r(x, \omega_i, \omega_o) L_i(x, \omega_i) (n \cdot \omega_i) d\omega_i

逐项理解：

$L_o(x, \omega_o)$ ：从表面点 $x$ 沿方向 $\omega_o$ 离开的辐亮度。
$L_e(x, \omega_o)$ ：表面自己发出的光，例如灯管或发光材质。
$L_i(x, \omega_i)$ ：从方向 $\omega_i$ 到达表面点的入射辐亮度。
$f_r(x, \omega_i, \omega_o)$ ：表面把入射光反射到出射方向的规则。
$(n \cdot \omega_i)$ ：入射方向与表面法线的余弦项。
$\int_{\Omega}$ ：对上半球所有入射方向求和。

辐射度量学与渲染方程关系图

这条公式的重点不是复杂符号，而是一个朴素问题：从所有方向来的光，经过材质反射后，有多少会朝相机方向离开？

粗糙度: 0.42 漫反射率: 0.72 间接光:

半球上的橙色线表示来自不同方向的入射光。漫反射率控制整体反射能量；粗糙度越低，高光瓣越窄；开启间接光后，弱的蓝色方向会模拟来自环境反弹的入射辐亮度。

上面的组件把半球积分画成可视化直觉。橙色方向表示直接入射光，蓝色虚线表示环境反弹来的间接光，紫色区域表示 BRDF 把光分配到不同出射方向的趋势。

局部光照是渲染方程的简化

之前的 Blinn-Phong 或 Lambert 模型可以看作渲染方程的简化版本。它们通常只考虑少数几个显式光源，而不是半球上所有方向的入射光。

对于一个方向光，漫反射项可以写成：

L_o \approx f_r L_i \max(n \cdot \omega_i, 0)

如果使用 Lambert BRDF：

L_o \approx \frac{\rho}{\pi} L_i \max(n \cdot \omega_i, 0)

工程中的局部光照模型会继续加入高光项、环境光近似、距离衰减和阴影测试。它们实用且快速，但本质上都在绕开完整半球积分。

全局光照：入射光也来自其它表面

渲染方程真正有趣的地方在于 $L_i(x,\omega_i)$ 。从某个方向来的入射光，可能直接来自光源，也可能是其它表面反射之后再到达当前点。

这意味着渲染方程是递归的：

当前点需要知道某个方向的入射辐亮度。
沿该方向反向追踪，会命中另一个表面点。
那个表面点的出射辐亮度，又由它自己的入射方向积分决定。
光可以在场景中多次反弹，形成间接照明。

这就是全局光照 (Global Illumination) 的核心。它解释了许多局部光照难以表达的现象：

白墙附近的物体会被墙面反弹光照亮。
红色地毯会把红色间接光染到附近物体上。
阴影区域并不总是纯黑，因为它还能接收其它表面的反射光。
光在狭窄空间中多次反弹，会产生更复杂的明暗层次。

路径追踪的入口

渲染方程包含一个半球积分。对真实场景来说，这个积分通常没有简单解析解，因此需要数值方法。路径追踪 (Path Tracing) 的基本思想是：不枚举半球上的所有方向，而是随机选择一些方向采样，用统计平均近似积分。

概念上可以写成：

L_o \approx \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} \frac{f_r L_i (n \cdot \omega_k)}{p(\omega_k)}

其中 $p(\omega_k)$ 是采样方向的概率密度。这个公式会在下一章详细展开。本章只需要先记住：

渲染方程告诉我们要算什么。
路径追踪告诉我们如何用随机采样近似它。
采样越少，噪声越明显；采样越多，结果越稳定，但成本越高。

能量守恒与材质约束

物理材质不能凭空制造能量。除非表面本身发光，否则反射出去的能量不应超过接收到的能量。这就是能量守恒 (Energy Conservation)。

对 BRDF 来说，一个重要约束是：

\int_{\Omega} f_r(x,\omega_i,\omega_o)(n \cdot \omega_o)d\omega_o \le 1

直觉上，这表示固定一个入射方向后，把所有出射方向的反射贡献加起来，不能超过入射能量。

PBR 材质系统中的许多限制都来自这个思想。例如金属和非金属的反射行为不同，粗糙度会改变高光分布但不应该凭空增加总能量，漫反射和镜面反射也不能简单无限相加。

本章小结

本章把光线追踪从“可见性查询”推进到“物理光照计算”。

辐射度量学用物理量描述光能传播；渲染中最重要的量是辐亮度 $L$ 。
辐射通量表示总能量流，辐照度表示单位面积接收多少光，辐亮度表示沿某个方向看到多少光。
立体角让我们能在方向空间上积分；表面上方半球 $\Omega$ 包含所有可能入射方向。
BRDF 描述材质如何把入射光分配到出射方向，Lambert 漫反射 BRDF 为 $\rho / \pi$ 。
渲染方程把发光项、入射辐亮度、BRDF、余弦项和半球积分统一起来。
全局光照来自渲染方程的递归性：入射光可能是其它表面反射来的出射光。
路径追踪会用随机采样近似渲染方程中的积分，采样数量决定噪声与成本。

下一章会继续展开路径追踪：如何用蒙特卡洛积分估计渲染方程，以及为什么重要性采样能显著降低噪声。