动画与模拟（基本概念、质点弹簧系统、运动学）

前面的章节主要研究“某一帧画面如何生成”。从这一章开始，我们把时间放进图形学里：物体不再只是摆在某个位置，而是会移动、变形、碰撞、摆动和响应外力。

动画与模拟的共同目标都是让画面随时间变化。区别在于，动画更强调由创作者控制运动结果，模拟更强调由规则、力和约束推导运动结果。实际项目里两者经常混合：角色走路可以由关键帧控制，衣服、头发和尘土则由物理模拟补充。

时间是动画的坐标轴

静态渲染里，我们只关心某个时刻的场景状态。动画里，场景状态变成了时间的函数：

位置 = f(时间)
旋转 = f(时间)
形状 = f(时间)
材质参数 = f(时间)
相机参数 = f(时间)

因此动画系统首先要回答：在任意时间 t，场景中每个对象的状态是什么？

常见时间单位包括秒、帧和时间步长。秒是物理时间，帧是显示或渲染序列中的离散采样，时间步长则是模拟系统每次推进的间隔。

帧率 24 FPS：每秒显示 24 帧
帧率 60 FPS：每秒显示 60 帧
时间步长 1/60 秒：模拟每次推进约 0.0167 秒

动画不是连续时间本身，而是对连续运动的一系列采样。采样越稀疏，越容易出现跳动、穿透和不稳定；采样越密，计算成本越高。

动画与模拟的关系

动画和模拟都能生成运动，但它们的思考方式不同。

关键帧动画。 创作者指定若干关键时刻的状态，系统在中间插值。
程序动画。 由函数、噪声、规则或状态机生成运动。
物理模拟。 根据力、质量、速度、约束和碰撞推进状态。
混合动画。 先由动画给出目标，再由模拟产生二级运动和细节。

角色动画常常是关键帧、骨骼和程序控制的组合；布料、头发、软体和粒子效果则更依赖模拟。好的图形系统不会把二者割裂，而是让创作者能在“可控”和“自然”之间调节。

动画与模拟的基本链路

运动学：只描述运动

运动学只描述物体如何运动，不关心为什么这样运动。它关注位置、速度、加速度、旋转和插值。

最基本的一维运动可以写成：

速度 = 位置随时间的变化率
加速度 = 速度随时间的变化率

如果已知初始位置、初始速度和恒定加速度，可以得到：

x(t) = x0 + v0 t + 1/2 a t²
v(t) = v0 + a t

这类公式适合描述抛体、匀速移动、镜头推拉和简单弹道。它们很直观，但前提是运动规律已经被写死了。

插值：连接关键帧

关键帧动画的核心是插值。创作者只设置少量关键状态，系统负责补出中间状态。

常见插值方式包括：

线性插值。 速度恒定，简单直接，但容易显得机械。
缓入缓出。 开始和结束更慢，中间更快，符合很多自然运动。
样条曲线。 用曲线控制运动轨迹和速度变化，适合更复杂的动画。
球面线性插值。 常用于旋转插值，避免欧拉角插值带来的奇怪路径。

线性插值可以写成：

lerp(a, b, t) = (1 - t) a + t b

其中 t 从 0 到 1。这个公式看起来简单，但在图形学里到处出现：位置、颜色、权重、纹理采样、形变混合都离不开它。

动力学：由力推导运动

动力学关心“为什么会这样运动”。最经典的关系是牛顿第二定律：

F = m a

也就是：

加速度 = 合力 / 质量

模拟系统通常保存每个对象的状态：

状态 = 位置、速度、质量、受力、约束

每个时间步中，系统会计算力，再把力转成加速度，然后更新速度和位置。这个过程叫时间积分。

读取当前状态。
取得物体的位置、速度、质量和约束信息。
计算外力和内力。
外力可以是重力、风力和用户输入；内力可以是弹簧力、阻尼力和形变恢复力。
由力得到加速度。
根据 a = F / m 把合力转成运动变化趋势。
推进速度和位置。
使用一个积分方法把状态从当前时间推进到下一时间。
处理约束与碰撞。
修正穿透、限制距离、保持关节或固定点。
把结果交给渲染器。
新状态成为下一帧画面的输入。

质点系统

质点系统把物体简化成一组没有体积的点。每个点有位置、速度和质量。虽然单个质点很简单，但大量质点组合起来可以描述很多现象：

粒子效果，如火花、烟尘、雨滴和雪花。
软体或布料的离散节点。
头发、绳索和链条上的采样点。
群体运动中的个体位置。

质点系统的关键是：每个质点如何受力，以及质点之间是否有连接或约束。

弹簧与阻尼

质点弹簧系统用弹簧连接质点。弹簧会试图恢复到自己的静止长度，拉长时往回拉，压短时往外推。

常见弹簧力可以写成：

弹簧力 = -k (当前长度 - 静止长度) 方向

其中 k 是弹簧刚度。k 越大，弹簧越硬；k 越小，弹簧越软。

但只有弹簧力会让系统不停振荡，因此通常还要加入阻尼。阻尼会消耗运动能量，让摆动逐渐停下来：

阻尼力 ≈ -c 速度

其中 c 是阻尼系数。阻尼太小会抖动很久，阻尼太大则会显得迟钝甚至像被粘住。

交互辅助：质点、弹簧与时间步长

下面的小程序用一个固定点和一个可运动质点演示弹簧模拟。你可以调节刚度、阻尼和时间步长，观察系统如何在稳定、柔软和抖动之间变化。

刚度 48 阻尼 12 时间步长 16ms 外力 58

固定点通过弹簧拉住质点。刚度决定恢复力强弱，阻尼决定能量消失速度，时间步长决定每次模拟推进的跨度。

可以尝试：

增大刚度，观察质点更快被拉回，但也更容易高频振荡。
减小阻尼，观察系统持续摆动；增大阻尼，观察能量更快消失。
增大时间步长，观察模拟更省计算但更容易不稳定。
拖动“外力”滑块，观察同一个弹簧系统如何响应不同扰动。

稳定性与时间步长

模拟的难点不只是公式对不对，还包括时间步长是否合适。连续世界中的力是持续变化的，但计算机只能离散推进：

当前状态 → 经过 Δt → 下一状态

如果 Δt 太大，系统可能跳过重要变化。弹簧可能越抖越大，碰撞可能直接穿过物体，角色可能出现不自然的颤动。

因此实时图形系统常用固定时间步来更新物理，再把渲染帧插在物理结果之间。这样即使显示帧率波动，模拟也更容易保持一致。

约束

约束用于限制系统状态。它不一定直接来自某个力，而是规定某些条件必须满足。

常见约束包括：

两个质点之间的距离保持在某个范围。
某个点固定在空间中。
角色关节只能在有限角度内旋转。
物体不能穿过地面或墙面。
布料边缘挂在衣架或角色身体上。

约束让模拟更可控，也更接近实际需求。很多时候，项目里追求的不是完全真实，而是看起来合理、稳定、可导演。

碰撞

碰撞处理负责发现物体是否相交，并把它们分开或改变速度。它通常分成两个阶段：

碰撞检测。 判断哪些对象可能接触。
碰撞响应。 根据接触点、法线、摩擦和弹性调整运动。

碰撞非常容易影响稳定性。一个小小的穿透如果没有处理好，可能在下一帧被放大成弹飞、抖动或卡住。因此很多实时系统会使用简化碰撞体，例如球、盒子、胶囊和粗略网格，而不是直接用完整渲染模型做物理碰撞。

动画系统中的层级

复杂对象通常有层级结构。角色有骨骼，机械臂有关节，车辆有车身和轮子。父节点运动会带动子节点运动，这和前面学过的模型变换矩阵直接相关。

例如角色手掌的位置不仅取决于手掌自己的局部变换，还取决于小臂、上臂、肩膀和身体的变换。动画系统会沿层级把局部变换组合成世界变换，再交给渲染器绘制。

这说明前面学过的变换、矩阵和坐标系并没有结束，它们是动画系统的基础设施。

本章小结

本章把图形学从静态画面推进到了随时间变化的场景：

动画把场景状态看作时间的函数。
关键帧动画通过插值连接少量创作者指定的状态。
运动学描述“如何运动”，动力学解释“为什么运动”。
物理模拟通常根据力、质量、速度和约束逐步更新状态。
质点弹簧系统能用简单规则表现弹性、摆动、绳索、布料和软体的基础行为。
刚度、阻尼和时间步长共同影响模拟的观感与稳定性。
约束和碰撞让模拟结果更符合实际场景需求。

下一章会继续深入模拟背后的数值问题：如何求解常微分方程，为什么显式欧拉方法容易发散，刚体和流体又如何在同一套“状态随时间变化”的思想下被建模。