几何（曲线与曲面）

上一章把几何表示分成点云、线框、三角网格、隐式表面、参数表示和体数据。三角网格适合实时渲染，但它毕竟是离散的：一个圆用很多线段近似，一个曲面用很多三角形近似。

本章关注另一类几何：曲线与曲面。它们通常用少量控制点和数学函数描述连续形状，然后在需要渲染、碰撞或制造时再离散成线段或三角网格。

这种思想在图形学中非常重要。字体轮廓、动画路径、相机轨迹、角色建模、汽车外壳、工业 CAD、曲面细分，都离不开曲线与曲面。

参数曲线

最直接的曲线描述方式是参数方程。二维或三维曲线可以写成：

P(t) = (x(t), y(t), z(t))

其中 $t$ 是参数，通常位于某个区间内，例如 $t \in [0, 1]$ 。当 $t$ 从 $0$ 变化到 $1$ 时，点 $P(t)$ 在空间中移动，轨迹就形成一条曲线。

例如二维圆可以写成：

P(t) = (r\cos t, r\sin t)

参数曲线的优点是连续、紧凑、容易求导。导数可以表示曲线在某一点的切线方向：

P'(t) = \frac{dP(t)}{dt}

这对动画路径、相机运动、曲面法线和物体沿曲线移动都很有用。

为什么需要控制点

直接写出 $x(t)$ 、 $y(t)$ 、 $z(t)$ 的函数在数学上很清楚，但对建模和设计并不友好。艺术家或设计师更希望通过拖动少量点来控制形状，而不是手写复杂方程。

于是就有了控制点 (Control Points) 的思想：曲线不一定穿过所有控制点，但控制点会像磁铁一样影响曲线走向。

控制点带来几个好处：

形状可视化编辑。
曲线可以局部或整体调整。
曲线能保持平滑。
可以用统一算法生成许多不同形状。

Bezier 曲线就是最经典的控制点曲线之一。

Bezier 曲线的基本形式

一条 $n$ 次 Bezier 曲线由 $n+1$ 个控制点决定：

P_0, P_1, ..., P_n

曲线可以写成 Bernstein 多项式形式：

B(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^iP_i

其中 $t \in [0, 1]$ 。

二次 Bezier 曲线有三个控制点：

B(t) = (1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2

三次 Bezier 曲线有四个控制点：

B(t) = (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3

三次 Bezier 非常常见，因为它既足够简单，又能表达丰富形状。SVG 路径、字体轮廓、矢量绘图工具和许多动画曲线都大量使用三次 Bezier。

de Casteljau 算法

Bezier 曲线还有一种非常直观的构造方式：反复线性插值。这就是 de Casteljau 算法。

以三次 Bezier 为例，先在相邻控制点之间插值：

P_{01} = lerp(P_0, P_1, t)

P_{12} = lerp(P_1, P_2, t)

P_{23} = lerp(P_2, P_3, t)

再继续插值：

P_{012} = lerp(P_{01}, P_{12}, t)

P_{123} = lerp(P_{12}, P_{23}, t)

最后：

B(t) = lerp(P_{012}, P_{123}, t)

这个过程只用了线性插值，却生成了平滑曲线。它不仅数值稳定，而且几何意义非常清楚：Bezier 曲线可以看作控制多边形不断“收缩插值”后留下的轨迹。

曲线阶数: 参数 t: 0.42 显示构造:

拖动控制点观察曲线如何变化。橙色点是当前参数 t 对应的曲线点；灰色折线是控制多边形；构造线展示 de Casteljau 算法如何通过连续线性插值得到曲线点。

拖动控制点时，可以观察两个现象：曲线端点固定在 $P_0$ 和最后一个控制点上；中间控制点通常不在曲线上，但会影响曲线进入和离开端点的方向。

Bezier 曲线的重要性质

Bezier 曲线有几个非常实用的性质。

首先，它会经过首尾控制点：

B(0) = P_0,\quad B(1) = P_n

其次，曲线被控制多边形的凸包包围。也就是说，曲线不会跑到控制点围成的整体范围之外太远。这让编辑曲线时更可预测。

第三，端点切线由相邻控制点决定。对于三次 Bezier：

B'(0) = 3(P_1 - P_0)

B'(1) = 3(P_3 - P_2)

这解释了为什么矢量绘图工具中，拖动端点旁边的控制柄可以改变曲线进入或离开端点的方向。

分段曲线与连续性

单条高次 Bezier 曲线可以表达复杂形状，但高次曲线不容易控制。实际应用中更常见的是把多段低次曲线拼接起来，例如多段三次 Bezier。

拼接时需要关心连续性 (Continuity)：

$C^0$ 连续：两段曲线端点相接，位置连续。
$C^1$ 连续：端点相接，并且一阶导数方向和大小连续，速度也连续。
$G^1$ 连续：切线方向连续，但导数大小可以不同，视觉上仍然比较平滑。
$C^2$ 连续：二阶导数也连续，曲率变化更平滑。

字体轮廓和图标绘制通常至少需要视觉上的切线连续；相机轨迹和机械运动则常常需要更高阶连续性，否则会出现速度或加速度突变。

B 样条与 NURBS 的直觉

Bezier 曲线的一个局限是控制点影响范围较大。移动一个控制点可能影响整段曲线。对于复杂模型，设计者更希望“局部修改只影响附近区域”。

B 样条 (B-Spline) 通过分段基函数解决这个问题。它仍然由控制点控制，但每个控制点只影响曲线的一部分区域，因此更适合复杂曲线和曲面建模。

NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) 在 B 样条基础上加入权重和有理表达，能够精确表示圆、椭圆等二次曲线，因此在 CAD、工业设计和精密建模中非常重要。

本章不展开 NURBS 的完整公式，只需要先记住：

Bezier 简洁直观，适合讲解和局部曲线段。
B 样条更适合长曲线和局部编辑。
NURBS 更适合精确工业曲面。

参数曲面

曲线由一个参数 $t$ 控制，曲面通常由两个参数 $u$ 、 $v$ 控制：

P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

其中 $(u, v)$ 可以理解为曲面上的二维坐标。上一章中 UV 用来访问纹理；在参数曲面中， $u$ 和 $v$ 可以直接生成曲面上的空间位置。

例如一个简单平面可以写成：

P(u, v) = P_0 + uA + vB

而更复杂的 Bezier 曲面可以使用二维控制点网格生成：

S(u, v) = \sum_i \sum_j B_i(u)B_j(v)P_{ij}

这里 $P_{ij}$ 是控制点网格， $B_i$ 、 $B_j$ 是基函数。直观上，曲面就像一张被控制点拉动的弹性薄膜。

曲面的切线与法线

参数曲面不仅能给出位置，还能给出切线方向。对曲面 $P(u, v)$ 分别求偏导：

P_u = \frac{\partial P}{\partial u}

P_v = \frac{\partial P}{\partial v}

这两个方向分别表示曲面沿 $u$ 和 $v$ 方向的变化。曲面法线可以由它们叉乘得到：

N = normalize(P_u \times P_v)

这和前面学习的法线、切线空间、TBN 矩阵联系起来了：曲面参数方向可以提供自然的切线和副切线，进而帮助计算法线和纹理映射。

从连续曲面到三角网格

无论曲线和曲面在数学上多么连续，要进入传统实时渲染管线，通常仍要离散化。

曲线会被采样成线段：

P(t_0), P(t_1), P(t_2), ...

曲面会被采样成顶点网格，再拆成三角形：

(u0, v0) -> P00
(u1, v0) -> P10
(u0, v1) -> P01
(u1, v1) -> P11

quad(P00, P10, P11, P01) -> two triangles

采样密度越高，曲线或曲面越接近真实连续形状，但顶点和三角形数量也越多。实际系统会在质量和性能之间做取舍，有时还会使用自适应细分：弯曲剧烈或靠近相机的地方采样更密，平坦或远处的地方采样更稀。

确定参数范围：例如 $u,v \in [0,1]$ 。
按分辨率采样参数点：生成一组规则或自适应的 $(u, v)$ 。
计算空间顶点：把每个参数点代入 $P(u,v)$ 。
计算属性：根据偏导或邻域估计法线、切线和 UV。
生成三角形索引：把采样网格连接成可渲染三角形。
送入渲染管线：像普通三角网格一样执行变换、光栅化和着色。

细分曲面的基本直觉

细分曲面 (Subdivision Surface) 从一个粗糙控制网格出发，通过反复细分和调整顶点位置生成更光滑的表面。

直观地说：

控制网格决定整体形状。
每次细分会产生更多顶点和面。
顶点位置根据邻域规则被重新计算。
多次细分后，表面趋向平滑。

这类方法很适合角色、动画和有机形状建模。建模时可以保留较简单的控制网格，渲染时再生成更高细节的表面。它和 Bezier / B 样条一样，体现了一个共同思想：用少量控制结构描述更平滑、更复杂的连续形状。

曲线曲面的常见应用

曲线与曲面在图形系统中随处可见：

应用	常见表示
字体轮廓	二次或三次 Bezier
SVG 图形	Bezier 路径
动画缓动	一维 Bezier 曲线
相机轨迹	样条曲线
道路和轨道	分段样条
工业产品外壳	NURBS 曲面
角色有机表面	细分曲面
实时渲染输出	离散三角网格

这些应用看起来不同，但都围绕一个核心问题：如何用可编辑、可计算、可控的方式描述连续形状。

本章小结

本章介绍了曲线与曲面的基础思想。请重点记住以下结论：

参数曲线用 $P(t)$ 描述点随参数变化的轨迹；参数曲面用 $P(u,v)$ 描述二维参数域到三维空间的映射。
Bezier 曲线由控制点决定，常用 Bernstein 多项式或 de Casteljau 线性插值算法计算。
Bezier 曲线经过首尾控制点，中间控制点主要影响切线方向和弯曲趋势。
分段曲线需要关注连续性，位置连续不等于视觉平滑，切线和曲率连续会带来更自然的连接。
B 样条和 NURBS 更适合复杂曲线曲面与局部编辑；细分曲面则通过反复细分控制网格生成平滑表面。
连续曲线和曲面进入实时渲染前通常要离散成线段或三角网格，再交给光栅化管线处理。

下一章会回到网格本身，讨论网格处理的基本问题，并引入阴影图如何利用深度信息判断光源可见性。