几何（网格处理）、阴影图

前两章讨论了几何如何表示，以及曲线曲面如何由连续描述离散成网格。真正进入渲染系统时，我们经常面对的是三角网格：它可能来自建模软件、扫描重建、程序生成、曲面离散化，也可能是从高模烘焙后得到的低模。

这一章先看网格处理的基本问题：法线如何计算，网格为什么要简化、细分、重网格化，拓扑问题为什么会影响后续算法。随后，我们引入一个非常重要的可见性技术：阴影图 (Shadow Map)。它把几何从光源视角渲染成深度图，再在相机视角中用深度比较判断一个点是否被光照到。

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网格处理关注什么

三角网格可以写成：

$$Mesh = (V, F)$$

其中 $V$ 是顶点集合，$F$ 是三角形面集合。实际项目中，网格还会携带法线、UV、切线、材质 ID、骨骼权重等属性。

网格处理要解决的不是“能不能画出三角形”，而是：

• 网格是否足够干净，能被后续算法稳定处理。
• 网格密度是否合适，既不过重，也不丢失重要形状。
• 法线、UV、切线等属性是否与几何一致。
• 拓扑是否适合变形、细分、布尔、碰撞或制造。

同一个模型在不同阶段可能需要不同版本：建模时需要高细节，运行时需要低成本，碰撞时需要简单形状，阴影渲染时又可能需要单独的 shadow caster 版本。

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面法线与顶点法线

三角形的面法线由两条边的叉乘得到：

$$N_f = normalize((P_1 - P_0) \times (P_2 - P_0))$$

面法线垂直于三角形平面，适合 Flat Shading。如果每个三角形都直接使用自己的面法线，模型会呈现明显的折面感。

为了让表面看起来更平滑，渲染时常使用顶点法线 (Vertex Normal)。一个常见做法是把共享同一顶点的相邻面法线加权平均：

$$N_v = normalize(\sum_i w_i N_{f_i})$$

权重 $w_i$ 可以按面积、夹角或其它规则设置。顶点法线再经过光栅化插值，就能让低多边形模型呈现更连续的光照变化。

注意

平滑法线只改变光照计算，不改变真实轮廓。一个低面数圆柱即使法线很平滑，边缘轮廓仍然是多边形。

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硬边、平滑组与法线拆分

不是所有边都应该平滑。立方体的边缘如果把相邻面法线平均，就会看起来像被磨圆；而真实立方体应该保留硬边。

解决方法是法线拆分：同一个空间位置可以在网格数据中对应多个顶点副本，每个副本拥有不同法线。这样，面之间虽然位置重合，但着色时不会共享平滑法线。

建模软件中的平滑组、硬边、Auto Smooth，本质上都在控制哪些面共享顶点法线，哪些面需要拆开。

提示

如果模型边缘出现奇怪的黑斑、圆角或硬线，除了检查光照模型，也要检查法线是否被错误平均或错误拆分。

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网格简化

网格简化 (Mesh Simplification) 的目标是在尽量保留形状的前提下降低顶点和三角形数量。它常用于：

• 生成 LOD 模型。
• 降低移动端或实时场景负担。
• 清理扫描模型中过密的三角形。
• 为碰撞或阴影生成低成本代理网格。

一种常见思想是不断折叠边：把一条边的两个端点合并成一个点，同时删除相关三角形。每次折叠都会引入误差，因此算法需要估计“折叠哪条边最不影响形状”。

网格简化不只是减少数量。它还要尽量保留轮廓、锐边、UV 边界、材质边界和动画变形关键区域。否则，模型虽然轻了，视觉和功能却可能坏掉。

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细分与重网格化

简化是减少几何，细分 (Subdivision) 则是增加几何。细分可以让模型更平滑，也可以为置换贴图、雕刻或模拟提供更高分辨率。

细分曲面会根据邻域规则插入新顶点并调整位置，使粗控制网格逐渐变成平滑表面。它适合角色、有机形状和动画资产。

重网格化 (Remeshing) 则关注重新组织三角形分布。一个扫描模型可能三角形大小不均、方向混乱、拓扑不佳；重网格化可以让面片更均匀，或者让边流更适合动画变形。

操作	目标
简化	减少三角形，降低成本
细分	增加几何，提升平滑度或细节承载能力
重网格化	改善三角形分布、边流和拓扑质量

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拓扑问题

网格拓扑描述顶点、边、面之间如何连接。很多算法要求网格接近“正常表面”，也就是局部看起来像一张二维薄片。

常见问题包括：

• 非流形边：一条边被超过两个三角形共享。
• 孤立点或孤立面：与主体没有连接的小碎片。
• 翻转面：三角形顶点顺序错误，导致法线朝内。
• 自交：表面穿过自己。
• 洞和裂缝：本应闭合的边界没有连接。

这些问题可能不会立刻阻止渲染，但会影响法线计算、阴影、布尔运算、物理碰撞、路径追踪求交和 3D 打印。

警告

“能在视口里显示”不代表网格质量合格。渲染器往往很宽容，但几何处理算法通常更依赖拓扑正确性。

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阴影也是可见性问题

有了光照模型后，一个表面是否亮，并不只取决于法线是否朝向光源。还要问：光源和这个表面点之间有没有被其它物体挡住？

这就是阴影问题。局部光照模型本身不会自动产生阴影，因为它只计算当前点、光源和观察方向的关系，不知道中间是否有遮挡物。

阴影可以理解为从光源出发的可见性测试：

$$visibility(P, light) = \begin{cases} 1, & \text{light can see } P \\ 0, & \text{light is blocked} \end{cases}$$

最终光照可以写成：

$$L = L_{ambient} + visibility \cdot (L_{diffuse} + L_{specular})$$

环境光通常不乘这个直接光可见性，因为它近似的是间接照明；直接漫反射和高光则需要被阴影遮挡。

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Shadow Mapping 的核心思想

Shadow Mapping 是实时渲染中最常见的阴影技术之一。它的思想非常直接：

1. 从光源视角渲染场景：把相机放到光源位置或沿光源方向观察场景。
2. 只记录深度：生成一张深度纹理，称为 shadow map。
3. 从相机视角正常渲染：对每个片元，计算它在光源视角下的位置和深度。
4. 比较深度：如果片元到光源的深度大于 shadow map 中记录的最近深度，说明它被挡住。
5. 调制光照：被挡住的片元不接受该光源的直接漫反射和高光。

用一句话概括：先问光源看到了什么，再问当前片元是不是光源看到的最近表面。

Shadow Map 可以理解成“光源视角下的可见性缓存”。第一次渲染只关心深度，第二次渲染才从相机视角生成颜色，并用光源空间深度比较决定直接光是否被遮挡。

阴影图分辨率: 40 深度偏移: 0.018 柔化:

橙色线表示光线方向，左上条带是从光源视角记录的 shadow map。右侧画面中，每个地面采样点会被投影回光源空间，与 shadow map 中的深度比较；若它比记录值更远，就处在阴影中。

上面的组件把二维场景简化成一条光源深度图。调低阴影图分辨率会看到阴影边缘更粗糙；调节深度偏移可以观察 bias 对错误自阴影和阴影漂移的影响；开启柔化则模拟 PCF 对阴影边界做邻域平均。

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光源空间与深度比较

Shadow Mapping 的关键是把当前片元投影到光源空间。假设片元世界坐标为 $P_{world}$，光源也有自己的视图投影矩阵：

$$P_{lightClip} = M_{lightProj} M_{lightView} P_{world}$$

然后把裁剪空间坐标转换到 shadow map 的纹理坐标，并得到当前片元在光源视角下的深度：

vec4 lightClip = lightProjection * lightView * vec4(worldPosition, 1.0);
vec3 lightNdc = lightClip.xyz / lightClip.w;
vec2 shadowUV = lightNdc.xy * 0.5 + 0.5;
float currentDepth = lightNdc.z * 0.5 + 0.5;

再从 shadow map 里读取光源曾经记录的最近深度：

float closestDepth = texture(shadowMap, shadowUV).r;
float shadow = currentDepth > closestDepth ? 1.0 : 0.0;

实际代码通常会加入 bias、边界判断、PCF 和不同光源类型的投影处理。

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Shadow Acne 与 Bias

Shadow Mapping 最经典的问题是 Shadow Acne，也就是表面出现密密麻麻的错误自阴影。

它的原因是当前片元深度和 shadow map 中存储的深度来自两次不同采样。由于分辨率、浮点精度、斜面投影和光栅化误差，理论上同一个表面点在比较时可能被判断为“比最近深度更远”，于是错误地阴影了自己。

常见解决方法是加入深度偏移：

float bias = 0.005;
float shadow = currentDepth - bias > closestDepth ? 1.0 : 0.0;

但 bias 不能无限增大。太小会有自阴影，太大则会让阴影脱离物体，看起来像悬浮在地面上，这叫 Peter Panning。

警告

Shadow bias 是一个平衡项。它不是越大越安全，而是要在自阴影和阴影漂移之间取合适值。斜率相关 bias、法线偏移和更高精度 shadow map 都是在缓解这个平衡问题。

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阴影图分辨率与锯齿

shadow map 是一张纹理，因此它有有限分辨率。当阴影投射到屏幕上时，一个 shadow map 纹素可能覆盖很多屏幕像素，阴影边缘就会呈现块状或锯齿。

影响阴影清晰度的因素包括：

• shadow map 分辨率。
• 光源视锥覆盖范围。
• 物体与光源、相机之间的关系。
• 阴影接收面和光线夹角。

如果光源视锥覆盖了巨大场景，但 shadow map 分辨率有限，每个区域得到的深度精度就会变低。方向光的级联阴影 (Cascaded Shadow Maps) 正是为了解决大场景中近处阴影需要更高分辨率、远处阴影可以更粗的问题。

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PCF 与软阴影近似

最简单的 shadow map 比较只返回 0 或 1，阴影边缘会非常硬。PCF (Percentage-Closer Filtering) 会在 shadowUV 附近采样多个深度值，分别做比较，然后平均结果：

$$shadow = \frac{1}{N}\sum_i compare(currentDepth, closestDepth_i)$$

它不是物理真实的软阴影，但能让边缘更柔和，也能隐藏一部分分辨率锯齿。真实软阴影还和光源面积、遮挡物距离、接收面距离有关，后续更高级技术会继续处理这些问题。

注意

PCF 平滑的是“深度比较结果”，不是简单模糊 shadow map 深度值。先比较再平均，和先平均深度再比较，结果并不一样。

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网格质量如何影响阴影

阴影图看似是渲染技术，但它和几何质量关系很大。

如果模型法线错误，光照会怪；如果模型面朝向错误，shadow caster 可能被剔除；如果网格有裂缝，阴影可能漏光；如果 shadow caster 的低模代理和可见模型差距太大，阴影轮廓会不匹配。

常见排查方向包括：

现象	可能原因
阴影断裂	网格裂缝、深度偏移过大、shadow map 分辨率不足
表面脏斑	bias 太小、法线偏移不足、斜面深度精度差
阴影漂浮	bias 太大、caster 代理模型偏离可见模型
背面不投影	面剔除设置或法线/绕序错误
远处阴影闪烁	shadow map texel 与相机运动不稳定

这说明网格处理和阴影并不是两个完全割裂的话题。高质量几何数据会让可见性、光照和后续渲染技术更稳定。

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本章小结

本章从网格处理过渡到阴影图，重点建立两个观念：网格质量会影响后续渲染，阴影本质上是从光源视角做可见性判断。

1. 面法线来自三角形边的叉乘，顶点法线通常由相邻面法线加权平均，用于获得更平滑的光照。
2. 硬边和平滑边需要通过法线共享或法线拆分控制；错误法线会直接造成异常明暗。
3. 网格简化、细分和重网格化分别服务于降低成本、提升平滑度和改善拓扑质量。
4. Shadow Mapping 先从光源视角记录最近深度，再从相机视角把片元投影回光源空间做深度比较。
5. shadow acne、peter panning、阴影锯齿和漏光都与深度精度、bias、分辨率、采样和几何质量有关。

下一章会进入光线追踪的基本原理：不再从三角形覆盖屏幕出发，而是从相机发射光线，直接求解光线与场景几何的交点。