光线追踪（蒙特卡洛积分与路径追踪）

上一章我们把光照写成了渲染方程：

出射光 = 自发光 + 半球上所有入射光的反射贡献

这个式子很优雅，但它也带来了一个现实问题：半球方向有无穷多个，间接光还会继续反弹。路径追踪的核心思路是把“全部算完”改成“随机抽样，长期平均”。这就是蒙特卡洛积分进入渲染的地方。

为什么需要蒙特卡洛积分

如果只考虑一个表面点的直接漫反射，我们需要在法线半球上积分；如果再考虑一次反弹，积分空间会多出另一个表面点和另一个方向；反弹次数越多，问题的维度越高。

这类积分通常很难解析求解，因为：

场景几何可能很复杂，光线是否被遮挡只能通过追踪判断。
材质函数可能随方向、波长、纹理坐标变化。
间接光是递归的，一个方向上的入射光又来自别处的出射光。
小光源、镜面反射、焦散等现象会让贡献集中在很少的路径上。

蒙特卡洛方法不试图列举所有路径，而是随机选择一些路径，让估计值随着样本数增加逐渐靠近真实结果。

蒙特卡洛积分的基本形式

假设我们要计算：

I = ∫ f(x) dx

如果从概率密度函数 p(x) 中随机抽取 N 个样本 x₁, x₂, ..., xₙ，就可以用下面的估计式：

I ≈ (1 / N) Σ f(xₖ) / p(xₖ)

这里最容易忽略的是分母 p(xₖ)。它表示“这个样本被抽到的概率密度”。如果某个区域被更频繁地采样，它在求平均时就必须被相应地除回来，否则结果会被采样策略本身扭曲。

蒙特卡洛估计有三个重要性质：

样本数越多，结果越稳定。 每个像素都可以看成很多随机路径贡献的平均值。
估计可以无偏，但噪声可能很大。 无偏表示长期平均会收敛到正确结果，不表示少量样本就好看。
收敛速度比较慢。 噪声大致按 1 / √N 下降，所以样本数增加 4 倍，噪声通常只减半。

从渲染方程到随机估计

渲染方程中的半球积分可以写成：

Lₒ(x, ωₒ) = Lₑ(x, ωₒ) + ∫Ω fᵣ(x, ωᵢ, ωₒ) Lᵢ(x, ωᵢ) cosθ dωᵢ

用蒙特卡洛方法估计半球积分时，就变成：

Lₒ ≈ Lₑ + (1 / N) Σ
      fᵣ(x, ωₖ, ωₒ) Lᵢ(x, ωₖ) cosθₖ / p(ωₖ)

每个随机方向 ωₖ 都对应一条新的光线。光线如果打到光源，就带回直接贡献；如果打到另一个普通表面，就继续递归估计那里的入射光。路径追踪就是把这种随机递归过程做成一条条光路。

蒙特卡洛路径追踪流程

交互辅助：样本、噪声与重要性采样

下面的小程序把“随机方向采样”和“像素估计收敛”放在一起观察。左侧半球表示从表面点发出的候选方向，右侧柱状图表示一个像素在不同样本下的估计值。

样本数 64 采样方式: 显示噪声:

左侧半球显示随机采样方向，右侧条带模拟像素估计结果。样本数越多，平均值越稳定；重要性采样会更多采到贡献大的方向，因此在相同样本数下通常更少噪声。

可以重点观察两件事：

把样本数调大时，右侧估计值会更稳定，但噪声不会线性下降。
切换到重要性采样后，样本会更多集中到高贡献方向；在相同样本数下，估计通常更平稳。

这个示意不是物理精确渲染器，而是用来帮助建立直觉：路径追踪的画面噪声不是“错误”，而是随机积分还没有充分收敛。

噪声、方差与收敛

路径追踪画面中的颗粒感通常来自方差。某些像素的大部分随机路径贡献很小，偶尔有一条路径打到强光源或高亮反射方向，就会带来很大的值。这种“多数很暗，少数很亮”的分布会产生明显噪声。

常见例子包括：

小面积光源照亮的区域，随机方向很难刚好命中光源。
光泽或镜面材质，能量集中在很窄的反射方向附近。
间接光路径很长，只有少数路径能经过有效的反弹组合。
焦散现象，例如玻璃杯把光聚到桌面上。

提高样本数可以降低噪声，但代价很高。实际渲染器通常会同时使用重要性采样、直接光采样、多重重要性采样、降噪等方法。

重要性采样

重要性采样的目标是让样本分布更接近积分函数的贡献分布。也就是说，哪里可能贡献大，就更常去哪里采样。

对于漫反射表面，贡献里有 cosθ 项，靠近法线方向的入射光通常权重更高。因此漫反射常用余弦加权半球采样，而不是在半球上完全均匀采样。

对于高光材质，样本应该更多靠近镜面反射方向；对于面积光源，样本可以直接在光源表面上抽取。重要性采样不会改变真实积分本身，它只是改变“怎么抽样”。只要估计式中正确除以对应的 p(x)，结果仍然可以保持无偏。

一个常见错误是：采样策略变了，但权重没有跟着概率密度一起变。这样画面可能看起来更亮或更暗，却不是物理结果，而是估计器被写偏了。

路径吞吐量

路径追踪实现中通常会维护一个累积权重，常叫做路径吞吐量。它表示光线经过多次反弹后，当前路径还剩下多少贡献能力。

当路径在表面点采样一个新方向时，可以用类似下面的形式更新：

T_new = T_old × fᵣ(ωᵢ, ωₒ) cosθ / p(ωᵢ)

其中：

T_old 是此前路径累积下来的权重。
fᵣ 描述材质如何把入射方向的光反射到出射方向。
cosθ 来自表面投影关系。
p(ωᵢ) 是这次方向采样的概率密度。

如果路径后来打到光源，就把光源辐射乘上当前吞吐量累加到像素：

L += T × Lₑ

这就是为什么路径越长，贡献通常越小，但仍然可能带来颜色渗透、柔和间接光和更真实的空间氛围。

路径追踪基本流程

从相机生成主光线。
对每个像素发出一条或多条随机扰动后的相机光线。
寻找最近交点。
用加速结构找到光线首先击中的三角形、球体或其他几何体。
累加自发光。
如果交点是光源，或者材质带有自发光，就把它按当前路径吞吐量加入结果。
选择新的反弹方向。
根据材质分布、半球分布或光源采样策略随机生成下一条光线。
更新路径吞吐量。
用 BRDF、余弦项和采样概率密度更新路径权重。
继续追踪或终止路径。
达到最大反弹次数，路径离开场景，或者通过俄罗斯轮盘终止时停止。

概念上，它可以写成：

let radiance = 0;
let throughput = 1;
let ray = cameraRay(pixel);

for (let bounce = 0; bounce < maxBounces; bounce++) {
  const hit = trace(ray);
  if (!hit) break;

  radiance += throughput * emittedLight(hit);

  const sample = sampleMaterialDirection(hit);
  throughput *= sample.brdf * sample.cosine / sample.pdf;
  ray = spawnRay(hit.position, sample.direction);
}

真实渲染器会处理更多细节，例如法线偏移、纹理、介质、光源采样、多重重要性采样和数值稳定性。但上面这段流程已经抓住了路径追踪的主干。

直接光采样与下一事件估计

如果只按材质随机反弹，路径要“碰巧”打到小光源可能很困难。比如一个房间里只有一盏小灯，漫反射表面随机向半球发射方向，大部分方向都不会命中灯。

下一事件估计的做法是：在每次命中表面时，额外直接从光源上采样一个点，检查这个点是否可见。如果没有被遮挡，就把这条到光源的直接贡献加入当前像素。

这样一来，直接光不必完全依赖随机反弹碰运气。许多现代路径追踪器会同时使用：

材质采样。 根据 BRDF 选择下一条反弹方向，擅长处理高光和间接路径。
光源采样。 直接朝光源抽样，擅长减少小光源造成的噪声。
多重重要性采样。 把多种采样策略按权重合并，避免某一种策略在特定场景里表现很差。

俄罗斯轮盘终止

路径不能无限追踪下去。最简单的方法是设置最大反弹次数，例如超过 8 次就停止。但如果理论上无限次反弹仍有贡献，硬性截断会引入一定偏差。

俄罗斯轮盘是一种概率终止方法：路径在若干次反弹后，以某个概率继续，以另一个概率停止。如果路径幸运地继续，就把吞吐量除以继续概率作为补偿。

如果继续概率是 q：
继续时 T = T / q
停止时路径贡献为 0

长期平均后，这种方法不会因为随机终止而系统性变暗。它的作用不是让单条路径更准确，而是在控制计算量的同时保持估计器的期望值正确。

常见渲染现象

路径追踪把很多光照现象统一到随机路径上，因此一些画面特征可以从路径角度理解：

颜色渗透。 光线从红色墙面反弹到白色物体上，会把红色能量带过去。
柔和阴影。 面积光源上的不同采样点会产生不同遮挡边界，平均后形成柔和过渡。
高光噪声。 光泽材质只有少数方向贡献很大，低样本时容易出现亮点。
萤火点。 极少数路径带回异常高贡献，形成孤立的亮像素。
降噪痕迹。 后处理降噪可以减少颗粒，但过强时会抹掉纹理、细节或间接光变化。

理解这些现象后，调试渲染器时就不只是“画面不好看”，而是能判断问题更可能来自采样、材质、光源、终止策略还是后处理。

本章小结

本章把渲染方程落到了路径追踪实现上：

蒙特卡洛积分用随机样本估计复杂积分，样本数越多结果越稳定。
路径追踪把半球积分和递归间接光转换成一条条随机光路。
采样概率密度必须进入权重计算，否则估计结果会产生偏差。
重要性采样通过更聪明地分配样本来降低方差。
路径吞吐量记录多次反弹后路径剩余的贡献权重。
直接光采样、下一事件估计和俄罗斯轮盘是路径追踪中非常基础的效率工具。

到这里，第五部分已经从“光线如何求交”推进到了“随机光路如何形成全局光照”。下一章开始，我们会转向材质与外观：同样一束光打到塑料、金属、玻璃和皮肤上，为什么会呈现完全不同的视觉结果。